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转化思想在立体几何距离问题中的应用

发布日期:2012-03-02 阅读:1158次

转化思想在立体几何距离问题中的应用

            

      重庆广益中学      张劲    何星颖

转化思想是数学中的一种非常重要的思想方法,在立体几何中作用更明显。下面谈谈转化思想在立体几何距离问题中的应用。

距离是反映空间两异面直线、点与平面、线面平行时线面、面面平行时面面的远近关系,计算的实质是求位于有关元素上两点的距离的最小值。解决立体几何问题的基本思想是将立体几何问题平面化,将空间问题转化为平面问题来处理,而计算这些距离的基本方法是将它们转化为某些线段的距离。

距离问题可以相互利用,相互转化。下面举几个例子来说明转化思想在距离问题中的应用。

1:在棱长为a的正方体 中,求

到平面 的距离;(2D到平面 的距离;                                                                                                                                   3)求 的距离。

解析:第2问可将点到平面的距离转化为平面 与平面 的距离来解决;第3问可先将异面直线的距离转化为线 到平面 间的距离,再转化为平面与 平面 间的距离。

解:(1)连接 交平面 N点,交平面 M点,

(接下来证明 ,即线段MN为所求)。 

由三垂线定理,则

 同理, ,又∵ =

,同理,

,且MN为所求。

(下面求MN,先用等积法求AM                  求出AM=

同理,求出 = MN= AM=

2 D

∴所D到平面 的距离为面 到平面 的距离,即为

3 ,∴ 所在的面      

的距离为线 到平面 间的距离

所在的面

线 到平面 间的距离即为面 到平面 的距离,即

2已知正方形ABCD的边长为4 EF分别是边ADAB的中点,GC垂直于ABCD所在的平面且GC=2,求点B到平面EFG的距离。                  

 解析:将点B到平面EFG的距离转化为线BD到平面EFG的距离,再转化为点O到平面EFG的距离。

 解: 设ACGEF=R,连接GR;设ACBD=O

EF分别是边ABCD的中点,

EFBDEF= AR=OR=

BDEFGB到平面EFG的距离为线BD到平面EFG的距离,即求点O到平面EFG的距离   OOHGRGRH,下证OH为所求

 GCABCD,则GCEF   ABCDEFBD

EFAC

EFGCR

EFOH             

OHGR

OHGEF

OH为所求 

直角ΔOHR直角ΔGCR

3:长为2a的线段AB的两端点分别在直二面角α-L-β的两个平面内,

与这两个面都成30º角,求异面直线ABL的距离.

   解:AACLLC∵α⊥β,α∩β=L,∴AC⊥β

       BBDLLDBD⊥α

       ∴∠BAD= ,∠ABC= ,∴ACBCBDAD   

         ∴在ΔACB中,AC=a,在ΔADB中,BD=a 

   在β内过CCEBDCE=BD,∴CEBD为平行四边形   

DCBEBD=CE=a,

连接AE,∴DC∥面AEB

L∥面AEB

LAB的距离即L与面AEB的距离

也即C点到面AEB的距离 ,

CCHAEAEH

(下面证CHC点到面AEB的距离)  

LCE,∴BECE

AC⊥β,∴ACBE,ACCE

BEACE,∴BECH

CHAE,∴CH⊥面AEB

CHC点到面AEB的距离,在直角△ACE中,AC=CE=a,∴CH=

由上面的例子可见,直线到平面的距离、点面距离、面面距离可以相互转化:直线到平面的距离可转化为点面距离或面面距离;点面距离和面面距离可相互转化;异面直线的距离可转化为求线到面的距离,进而转化为求点面距离或面面距离。可见距离问题可以相互利用,相互转化。

 

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